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★★★☆☆難関コース 腕試し問題 一度はといてもらいたい問題 長さの関係をどう処理するか

角度の問題

難易度2.5
2022年 西大和学園中学入試問題より一部改変
【問題】AB=BC,ABとCDが平行、∠ADC=122°となる四角形ABCDがあります。今、点Aから直線BCに下した垂線の足をHとするとBH:CD=1:2となります。その時、アの角度の大きさは何度ですか。

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【ヒント1】
△AHBをAHで折り返した△AEBはAE=ABとなる二等辺三角形です。
また△AEBと△BCDにおいて2辺(BE=2×HB=CD,AB=BC)とその間の角(ABとDCが平行なので∠ABE=∠BCD)が等しいので合同な三角形となります。

【ヒント2】
△BADはBA=BDである二等辺三角形です。よって∠BAD=∠BDA=アとなります。
あとは分かっている条件をまとめていくだけです。

【解答】上の図より ア+ア+▲=180°・・・①
  ア+▲=122°・・・②
  ①から②の左辺と右辺どおしをひくと、ア=58°・・・(答え)

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