【問題】2026!−2025! の末尾に 0 はいくつならびますか。ここで
2026!＝2026×2025×2024×・・・・×３×2×１、
2025!=2025×2024×2023×・・・・×３×２×１ を表します。
【ヒント】2026! には 2025! がそのまま入っている。
だから
2026! − 2025! ＝ 2025! × (2026 − 1)
つまり
（2025×2024×2023×・・・×3×2×１）× 2025
と変形できます。
また、数のうしろに 0 が 1 つできるのは
2 × 5（＝１０）
がそろったときです。
大きなかけ算では 2 はたくさんあるので、 5 がいくつあるかだけを数えれば大丈夫です。
まず、2025! の中の 5 を数えます。
2025! の中には
- 5 の倍数 → 405 個
- 25 の倍数（5 がもう1つ）→ 81 個
- 125 の倍数 → 16 個
- 625 の倍数 → 3 個
があります。
- 5 の倍数は 1 個の 5 を持つと数えます。
- 25 の倍数は 5 を 2 個持っていますが、1 個はすでに 5 の倍数として数えています。残り 1 個を追加します。
- 125 の倍数も同じで、もともと数えた分を除いた残りを追加します。
このやり方で「5 の総数」が正確に出ます。
- 5 の倍数だけ数えると 405 個
- 25 の倍数は追加で 81 個
- 125 の倍数は追加で 16 個
- 625 の倍数は追加で 3 個
全部たすと
405＋81＋16＋3＝505 個 の５があり、これは505個の0が並ぶこととなります。
②（2025×2024×2023×・・・×3×2×１）× 2025 ですから、
後半部分の、2025 ＝5×5×3×3×3×３ となり、5が2個入っています。
つまり、505＋2＝507となり、
2026! − 2025! のうしろに並ぶ 0 の数は 507個 （答え） です。
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