今日は、九去法（きゅうきょほう）と呼ばれる確かめ算の方法をご紹介します。
九去法を知るまえに、これは算数の範囲ではないのですが、合同式とよばれる
便利な考え方をご紹介します。
１７と２６という2ケタの2つの数字があるとします。
この数字を９で割った余りについて考えてみましょう。
１７は９×１＋８で、２６は9×２＋８となりますので、
１７と２６それぞれを９で割った余りは、同じ８となります。
この余りが同じ数字を、
１７≡２６（mod9) と書くことにします。
１７ ごうどう ２６ モッド９と読み、これを合同式といいます。
同様に １０と１９という数字は、9で割った余りがそれぞれ１で等しいですので、
１０≡１９（mod9)と書くことができます。
ここで、 左どうしと右どうしをたした、２７（１７＋１０）と４５（２６＋１９）に
ついて考えてみましょう。
この２つの数字も、９で割ると、余りが０で等しくなりますので、
２７≡４５（mod9) つまり、≡ の左辺どうし、右辺どうしは自由に
たしてよいとわかります。（正式にはもう少し詳しく証明しなければいけませんが）
同様に、差（ひき算）も成り立ちます。
さらに、かけ算も成り立ち、わり算については条件付きで成り立つことがわかります。
わり算については今回は詳しくは触れません。
ウラ技１
上で説明したとおり、 ア≡イ（mod ウ）が成り立つ場合、
１．アーイ≡イーイ≡０（mod ウ）
２．ア＋イ≡イ＋イ（mod ウ）
３．ア×イ≡イ×イ（mod ウ）
と普通の式の計算でできることがそのままできます。
≡は＝同様に何個でもつなぐことができます。
この性質を使うと、考え方の幅が広がり、とても便利です。
九去法について たし算・ひき算編
最初に、九九（クク）の九の段について、じっくり見ています。
９×１＝０９
９×２＝１８
９×３＝２７
９×４＝３６
９×５＝４５
９×６＝５４
９×７＝６３
９×８＝７２
９×９＝８１
あえて９を０９と書きましたが、なにか気づきましたでしょうか！
そうです、１ケタ目の数字が、９，８，７，６・・・１となっていて、
2ケタ目の数字が０,１，２・・・８ときれいに並んでいます。
さらに、1ケタ目と2ケタ目の数字の合計が０＋９＝９，１＋8＝9，２＋７＝９
とすべて９になるのです。
このことからも想像できるように
①９の倍数の見分け方は、「各ケタの数字の和が９の倍数である」かです。
また、321という数字は、100の位が３、１０の位が２、１の位が１なので
３×100＋2×１０＋1×１と表現できます。
ちなみに １も１０も１００も９で割った余りが１となりますので、
②1≡１０≡１００≡１０００・・・・・（mod9) と表現できます。
この①と②の性質が九去法のタネとなります。
【数字根の作り方】 例）２４６５３
数字根は占いなどで見たことがあるかたもいるかもですが、
各桁の数字をたしていき、１ケタの数字になるまでたした数字のことです。
上の例では「２」＋「４」＋「６」＋「５」＋「３」＝２０ ・・・①
さらに、「２」＋「０」＝２と計算します。 ・・・②
１ケタの数字になったのでここで終了です。
下のように合計が９になるように一気に消す方法もあります。
以上を活用し、検算するのが 九去法です。それでは実際にやってみます。
【例】１９９９＋２０２２＝４０２１ が正しいかどうかの確かめ算について考えます。
ここで、９去法とよばれる方法を紹介いたします。９去法は名前のとおり、９を
とりさっていくという方法です。
１９９９の数字の９を取り除くと、１０００となり、
各桁をたすと１＋０＋０＋０＝１となります。
また２０２２は９がなくまた、２＋０＋２＋２を計算すると６となります。
さらに１＋６＝７を計算します。
今回は９がこれ以上いけないので７となりますが、
たとえば１２となった場合は、１＋２＝３とさらに各桁をたします。
さて、計算結果の４０２１について、９がないので、そのままたすと
４＋０＋２＋１＝７となり、先ほどの左で計算した結果と同じ７となりますので
計算がただしいことがわかります。
このように、左と右を別々に検算し、同じ数字になれば正しいと判定できます。
これは実は１００％間違いを発見できる方法ではないのですが、実際のなかでは
ほぼ１００％に近い効果があります。
是非使ってみてください。
九去法 かけ算編
【例】６７９９×９２７９＝６３０８７９２１ が正しいかについて考えてみます。
たし算・ひき算同様に、
６７９９から９を除くと６７００となり６＋７＋０＋０＝１３、１＋３＝４となります。
９２７９から９を除くと０２７０となり０＋２＋７＋０＝９≡０となります。
よって左辺は４×０＝０となります。
また、６３０８７９２１
→６３０８７０２１
→６＋３＋０＋８＋７＋２＋１→２７
→２＋７＝９→０となり、
左辺と右辺が一致するので会ってることがわかります。
慣れるまですこし、混乱するかもですが、なれると５秒程度でたしかめ算ができますので
是非チャレンジして自分のものにしてください。
コメント