★★★★★2026年の問題

【問題】すべて分母が2026の、2026分の１から2026分の2026までの分数で、既約分数（分子と分母が互いに素）の和はいくらか。互いに素とは、共通の約数が1しかない2つの数のことです。

【ヒント】たとえば分母が「10」のとき

$$\frac{1}{10},\ \frac{2}{10},\ \frac{3}{10},\ \ldots,\ \frac{10}{10}$$
この中で約分できないのは？

$\frac{9}{10}$

$\frac{1}{10}$

$\frac{3}{10}$

$\frac{7}{10}$

約分できない分数は、たすと 1 になるペアが作れます！

【解答】
例えば、$$\frac{1}{2026} と \frac{2025}{2026}$$
を足すと、$$\frac{1}{2026} + \frac{2025}{2026} = \frac{2026}{2026} = 1$$
同じように、$$\frac{3}{2026} + \frac{2023}{2026} = 1$$

というように、分子が「たして 2026 になるもの」は、必ず 1 になります。

2026は $$2026 = 2 × 1013$$

1013は素数です！

このとき、

数字「あ」が 2026 と互いに素なら
2026−「あ」　も必ず互いに素

既約分数は、必ず「1になるペア」を作る

「2026と互いに素な数」はいくつあるか考えます。

1〜2026の中で、2の倍数と1013の倍数を除くと、ちょうど　1012個​あります。

既約分数は 1012個、2つで1になるペアなので、

$$1012 ÷ 2 = 506\ \text{ペア}$$

それぞれのペアの和は 1なので、、

答え、506​　となります。