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★★★★☆難関コース 【超良問】正六角形の折り紙問題

長さ・面積・体積の問題

4.0
2017年 筑波大学付属駒場中学入試問題より

【問題】正六角形の紙に次のような操作を行います。
操作1)図の正六角形を点線で半分におり、
    さらにできた台形を点線で、両側の正三角形を真ん中に折り重ね、
図のような正三角形にする。


操作2)操作1でできた正三角形を図のようにハサミで切り、
正六角形を残す。

上の操作1→操作2を1回とかぞえ、操作の後に残った正六角形に対して、
続けて操作を行っていきます。
初めの正六角形の紙は、面積が81㎠です。
(1)1回目の操作の後に残った正六角形の紙を、全部ひろげます。
 同様な形の紙になりますか。下図の点線をはじめの正六角形として、
 広げた紙の形を書きなさい。

(2)2回目の操作の後にのこった正六角形の紙を、全部ひろげます。
広げた紙の面積を求めなさい。

(3)3回目の操作の後にのこった正六角形の紙を、全部ひろげます。
広げた紙にはいくつか穴があいています。
面積が最も大きい穴は、何㎠ですか。

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【ヒント1】
1回目の操作を行った紙を途中までひろげると、下のようになります。
黒の部分はハサミで切り落とした部分です。

【ヒント2】最初の正六角形は、黒い小さな正三角形を1つの単位として
 できていることがわかります。最初の正六角形は、黒い正三角形が9×6=54個分となります。
 また1回目の操作の後にできた正六角形は黒い正三角形6個分となります。

【ヒント3】
1回目の操作でできる正三角形は 54個で1つの面積は
81×\(\displaystyle\frac{1}{54}\)= \(\displaystyle\frac{3}{2}\)㎠

正六角形 1つの面積は\(\displaystyle\frac{3}{2}\)×6=9㎠

2回目の操作後にできる正六角形は 9×\(\displaystyle\frac{1}{9}\)=1㎠

3回目の操作後にできる正六角形は 1×\(\displaystyle\frac{1}{9}\)=\(\displaystyle\frac{1}{9}\)㎠となります。


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【解答】
(1)の解答は下図のとおり。


(2)最初の正六角形は黒い正三角形 9×6=54個
 ブルーの正六角形 は黒い正三角形6個分なので、ブルーの部分の合計は
 6×6=36個分
 操作1回行うことにより、最初の正六角形の\(\displaystyle\frac{6×6}{9×6}\)=\(\displaystyle\frac{6×6}{9×6}\)=\(\displaystyle\frac{2}{3}\)倍となるので、

操作1回目の終了後の面積は、
81×\(\displaystyle\frac{2}{3}\)となり、小さい正六角形1つの面積は

81×\(\displaystyle\frac{2}{3}\)×\(\displaystyle\frac{1}{6}\)=9㎠となります。

操作2回目の終了後はさらに、9×\(\displaystyle\frac{2}{3}\)=6となり、

この正六角形が6個あるので、6×6=36㎠・・(答え)


(3)1回目の操作後にできる一番大きな穴は正六角形1つで9㎠となります。
2回目の操作後にできる追加の穴は、正六角形の1つの角に正三角形が4個追加されるので、
4×6=24個分のあなで、これは正六角形に換算すると24÷6=4個分となります。
2回目の操作後にできる正六角形の面積は1㎠なので 1×4=4㎠となります。
3回目の操作後にできる追加の穴は、正六角形1つの角に正三角形が16個追加されるので、
16×6=96個分の穴で、これは正六角形に換算すると96÷6=16個分となります。
3回目の操作後にできる正六角形の面積は\(\displaystyle\frac{1}{9}\)㎠なので

\(\displaystyle\frac{1}{9}\)×16=\(\displaystyle\frac{16}{9}\)㎠

よって求める面積は9+4+\(\displaystyle\frac{16}{9}\)

=14\(\displaystyle\frac{7}{9}\)㎠・・・(答え)

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