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★★☆☆☆初級コース 知っておきたい三角すい

長さ・面積・体積の問題

2.0

【問題】
 図のように1辺が1㎝の立方体があります。
 AB,BCの真ん中の点をP,Qとするとき、三角すいB-PQFの体積は何㎤ですか。
 また、三角形PQFの面積は何㎠ですか。

 

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 【ヒント】
  下の図のようにB-PQFの展開図から考えます。
  BB’B”Fは正方形ですので、黄色い三角形の面積を求めることができそうです。
  

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【解答】
求める体積は、\(\displaystyle\frac{1}{2}\)×\(\displaystyle\frac{1}{2}\)×\(\displaystyle\frac{1}{2}\)×1×\(\displaystyle\frac{1}{3}\)=\(\displaystyle\frac{1}{24}\) ㎤・・(答え)

 △PQF=1×1-\(\displaystyle\frac{1}{2}\)×1×\(\displaystyle\frac{1}{2}\)×2-\(\displaystyle\frac{1}{2}\)×\(\displaystyle\frac{1}{2}\)×\(\displaystyle\frac{1}{2}\)

 =1-\(\displaystyle\frac{1}{2}\)ー\(\displaystyle\frac{1}{8}\)=\(\displaystyle\frac{3}{8}\) ㎠・・・(答え)

黄色い三角形の面積は正方形の\(\displaystyle\frac{3}{8}\) 倍になります。


【おまけ】上で求めた三角すい4つでできる四角すいの体積は
 \(\displaystyle\frac{1}{24}\)×4=\(\displaystyle\frac{1}{6}\)となります。
 下の展開図から計算すると、底面の正方形の面積が1×1×\(\displaystyle\frac{1}{2}\)

なので、\(\displaystyle\frac{1}{2}\)×高さ×\(\displaystyle\frac{1}{3}\)=\(\displaystyle\frac{1}{6}\) となり 高さは1㎝となります。

  これは下の左の展開図でいうと、
 高さは展開図の大きな正方形の\(\displaystyle\frac{1}{2}\)となります。
 

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